1樓：匿名使用者
你知道1+2+3+4+……+n=n（n+1）/2吧，那就好辦了你看！！
1³-0=3×1²-3×1+1
2³-1³=3×2²-3×1+1
3³-2³=3×3²-3×2+1
……n³-（n-1）³=3n²-3n+1
等式疊加得
n³=3×（1²+2²+3²+……+n²）-3（1+2+3+……+n）+n
3×（1²+2²+3²+……+n²）=n³+3×n（n+1）/2-n=1/2×（2n³+3n²+n）=1/2×n（n+1）（2n+1）
故1²+2²+3²+……+n²=1/6×n（n+1）（2n+1）
2樓：匿名使用者
從有限差分法可知 s= 1^2 + 2^2 + 3^2 +。。。+n^2 是 n 的三次多項式
s(n)= f(n) = an^3 + bn^2 + cn + d
s(1) = a + b + c + d = 1------(1)
s(2) = 8a + 4b + 2c + d = 5------(2)
s(3) = 27a + 9b + 3c + d = 14------(3)
s(4) = 64a + 16b + 4c + d = 30------(4)
(2)-(1) 7a+3b+c = 4------(5)
(3)-(2) 19a+5b+c = 9------(6)
(4)-(3) 37a+7b+c = 16------(7)
(6)-(5) 12a+2b = 5------(8)
(7)-(6) 18a+2b = 7------(9)
(9)-(8) 6a = 2, a = 1/3
a 代入(8) b = 1/2
a, b 代入(5) c = 1/6
a, b, c 代入(1) d = 0
所以:s = (n^3)/3 + (n^2)/2 + n/6
= (2n^3+3n^2+n)/6
= n(2n^2 +3n +1)/6
= n(n+1)(2n+1)/6
有限差分法: 取相鄰兩項的差，直到兩項的差為一常數。
因為在第三次才達成，所以 s 是 n 的三次函式。
n = 1 2 3 4 5 6 7
s = 1 5 14 30 55 91 140
4 9 16 25 36 49
5 7 9 11 13
2 2 2 2
1的平方加2的平方一直加到n的平方等於多少
3樓：千山鳥飛絕
1²+2²+3²+……+n²=n(n+1)(2n+1)/6。可以用(n+1)³-n³=3n²+3n+1累加得到。
證明過程：
根據立方差公式(a+1)³-a³=3a²+3a+1，則有：
a=1時：2³-1³=3×1²+3×1+1
a=2時：3³-2³=3×2²+3×2+1
a=3時：4³-3³=3×3²+3×3+1
a=4時：5³-4³=3×4²+3×4+1.·
·a=n時：（n+1）³-n³=3×n²+3×n+1
等式兩邊相加：
（n+1)³-1=3（1²+2²+3²+······+n²）+3（1+2+3+······+n）+（1+1+1+······+1）
3（1²+2²+3²+······+n²）=（n+1）³-1-3（1+2+3+.+n）-（1+1+1+.+1）
3（1²+2²+3²+······+n²）=（n+1）³-1-3（1+n）×n÷2-n
6（1²+2²+3²+······+n²）=2（n+1)³-3n（1+n)-2(n+1)=(n+1)[2(n+1)²-3n-2]
=(n+1)[2(n+1)-1][(n+1)-1]=n(n+1)(2n+1)
所以1²+2²+······+n²=n（n+1)（2n+1）/6。
4樓：丙英萊念雙
n(n+1)(2n+1)/6
方法有很多種，這裡就介紹乙個我覺得很好玩的做法想像乙個有圓圈構成的正三角形，
第一行1個圈，圈內的數字為1
第二行2個圈，圈內的數字都為2，
以此類推
第n行n個圈，圈內的數字都為n，
我們要求的平方和，就轉化為了求這個三角形所有圈內數字的和。設這個數為r
下面將這個三角形順時針旋轉60度，得到第二個三角形再將第二個三角形順時針旋轉60度，得到第三個三角形然後，將這三個三角形對應的圓圈內的數字相加，我們神奇的發現所有圈內的數字都變成了2n+1而總共有幾個圈呢，這是乙個簡單的等差數列求和1+2+……+n=n(n+1)/2
於是3r=[n(n+1)/2]*(2n+1)r=n(n+1)(2n+1)/6
5樓：匿名使用者
1²+2²+3²+.+n²=n（n+1)（2n+1）/6
證明如下：
（a+1）³-a³=3a²+3a+1（即（a+1)³=a³+3a²+3a+1）
a=1時：2³-1³=3×
1²+3×1+1
a=2時：3³-2³=3×2²+3×2+1
a=3時：4³-3³=3×3²+3×3+1
a=4時：5³-4³=3×4²+3×4+1
.a=n時：（n+1）³-n³=3×n²+3×n+1
等式兩邊相加：
（n+1)³-1=3（1²+2²+3²+.+n²）+3（1+2+3+.+n）+（1+1+1+.+1）
3（1²+2²+3²+.+n²）=（n+1）³-1-3（1+2+3+.+n）-（1+1+1+.+1）
3（1²+2²+3²+.+n²）=（n+1）³-1-3（1+n）×n÷2-n
6（1²+2²+3²+.+n²）=2（n+1)³-3n（1+n)-2(n+1)
=(n+1)[2(n+1)²-3n-2]
=(n+1)[2(n+1)-1][(n+1)-1]
=n(n+1)(2n+1)
∴1²+2²+.+n²=n（n+1)（2n+1）/6.
6樓：水和正瀧實
平方和公式n(n+1)(2n+1)/6
即1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6(注：n^2=n的平方)
證明1＋4＋9＋…＋n^2＝n(n+1)(2n+1)/6證法一（歸納猜想法）：
1、n＝1時，1＝1（1＋1）（2×1＋1）/6＝12、n＝2時，1＋4＝2（2＋1）（2×2＋1）/6＝53、設n＝x時，公式成立，即1＋4＋9＋…＋x2＝x(x+1)(2x+1)/6
則當n＝x＋1時，
1＋4＋9＋…＋x2＋（x＋1）2＝x(x+1)(2x+1)/6＋（x＋1）2
＝（x＋1）[2（x2）＋x＋6（x＋1）]/6＝（x＋1）[2（x2）＋7x＋6]/6
＝（x＋1）（2x＋3）（x＋2）/6
＝（x＋1）[（x＋1）＋1][2（x＋1）+1]/6綜上所述，平方和公式1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6成立，得證
7樓：心動
^1²+2²+3²+……+n²=n(n+1)(2n+1)/6。可以用(n+1)³-n³=3n²+3n+1累加得到。
1^2+2^2+3^2+..+n^2=利用立方差公式n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
拓展資料：
推導公式 n－﹙n－1﹚＝3n－3n＋1，﹙n－1﹚－﹙n－2﹚＝3﹙n－1﹚－3﹙n－1﹚＋1 寫出1到n－1的式子，將這n－1個式子疊加得 n－1＝3[n＋﹙n－1﹚＋……＋2﹚]－3[n＋﹙n－1﹚＋……＋2]＋n－1 由此不難得出1＋2＋……﹙n－1﹚＝﹙n－1﹚n﹙2n－1﹚／6。
8樓：莫小雨威秉
^^利用恒等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1,可以得到：
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1...3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+12^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1.
把這n個等式兩端分別相加，得：
(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,
由於1+2+3+...+n=(n+1)n/2,代人上式得：
n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(n+1)n/2+n
整理後得：
1^2+2^2+3^2+....+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
9樓：明凱無敵瞎
我來乙個不同的：sn=1²+2²+3²+……+n²sn是乙個
遞增函式，對sn求導=2·1+2·2+.....+2·n=n（n-1），是乙個二次函式型，所以大膽猜測sn是乙個三次函式型，於是假設sn=an³+bn²+cn+d，把s1=1，s2=5，s3=14，s4=30代入sn得出四個方程式，求出sn=1/3n³+1/2n²+1/6n，把s5代入驗證是正確的！但畢竟是猜的，所以要證明，證明方法如下：
當n=1時此等式成立，n=2時也成立。
假設當n=k時（n>1）也成立，即
sk=1/3k³+1/2k²+1/6k，只需證明n=k+1時也成立即可，又sk+1-sk=（k+1）²，是成立的所以原等式成立。
10樓：福波蔡幼萱
由1²+2²+3²+.+n²=n（
n+1)（2n+1）/6
∵（a+1）³-a³=3a²+3a+1（即（a+1)³=a³+3a²+3a+1）
a=1時：2³-1³=3×1²+3×1+1
a=2時：3³-2³=3×2²+3×2+1
a=3時：4³-3³=3×3²+3×3+1
a=4時：5³-4³=3×4²+3×4+1
.a=n時：（n+1）³-n³=3×n²+3×n+1
等式兩邊相加：
（n+1)³-1=3（1²+2²+3²+.+n²）+3（1+2+3+.+n）+（1+1+1+.+1）
3（1²+2²+3²+.+n²）=（n+1）³-1-3（1+2+3+.+n）-（1+1+1+.+1）
3（1²+2²+3²+.+n²）=（n+1）³-1-3（1+n）×n÷2-n
6（1²+2²+3²+.+n²）=2（n+1)³-3n（1+n)-2(n+1)
=(n+1)[2(n+1)²-3n-2]
=(n+1)[2(n+1)-1][(n+1)-1]
=n(n+1)(2n+1)
∴1²+2²+.+n²=n（n+1)（2n+1）/6.
求證 一的平方加上二的平方一直加到n的平方等於六分之n n
設s 1 2 2 2 n 2 n 1 3 n 3 3n 2 3n 1 n 3 n 1 3 3 n 1 2 3 n 1 1 2 3 1 3 3 1 2 3 1 1 上面n個相加得 n 1 3 1 3 1 2 2 2 n 2 3 1 2 n n 所以得證 用數學歸納法，n 1時等式明顯成立 假設n k是...
1的平方 2的平方 3的平方n的平方
1 2 2 2 3 2 n 2 n n 1 2n 1 6證 利用恒等式 n 1 3 n 3 3n 2 3n 1 n 1 3 n 3 3n 2 3n 1,n 3 n 1 3 3 n 1 2 3 n 1 1.3 3 2 3 3 2 2 3 2 12 3 1 3 3 1 2 3 1 1.把這n個等式兩端分...
從一的平方一直加到二零一二的平方怎麼算
clear all sum 0 for i 1 2012 sum sum i 2 endsum 以上為matlab程式設計程式。答案是 2716979650 一的平方加二的平方一直加到十的平方怎麼算 5 n個自然數的平方和公式是 n n 1 2n 1 6。在本題中，n取10，答案為385。答案 38...
2n的平方 2n 84求n，過程寫一下，謝謝
解 2n 2n 84 即n n 42 也即n n 42 0 因式分解得 n 7 n 6 0 解得 n 7或n 6.是n的平方乘以2嗎？還是2n的平方？前者 等式兩邊各加上二分之一，在一起除以2，左邊組成完全平方式，右邊為四分之169 得n 6或 7 後者 兩邊同時加4分之1，在一起除以4，得n 1 ...
2的n次方 256為乙個完全平方數，求n
256 2 8 16 2 2 n 2 8 2 8 1 2 n 8 所以要求 1 2 n 8 是完全平方數。可得 n 8 3，即n 11 求能使2的n次方 256是完全平方數的正整數n的值 256本身是完全平方數，而且是2的整數冪因此在256的基礎上擴大2的某次冪的倍數，且這個冪加1是完全平方數即可2...