1樓：
舉例來說，考慮描述一棵樹的高度隨時間而變化的函式，那麼這個函式是連續的（除非樹被砍斷）。
【連續性】
在自然界中有許多現象，如氣溫的變化，植物的生長等都是連續地變化著的。這種現象在函式關係上的反映，就是函式的連續性。
另外，在數學的範疇裡，二維連續函式的定義是這樣的：在某點x0處，取它的左極限a和右極限b，當且僅當a，b都存在且a=b時，我們說此函式在x0處連續
【簡介】
函式y=f（x）當自變數x的變化很小時，所引起的因變數y的變化也很小。例如，氣溫隨時間變化，只要時間變化很小，氣溫的變化也是很小的；又如，自由落體的位移隨時間變化，只要時間變化足夠短，位移的變化也是很小的，對於這種現象，我們說因變數關於自變數是連續變化的，可用極限給出嚴格描述：設函式y=f（x）在x0點附近有定義，如果有lim(x->x0) f(x)=f(x0)，則稱函式f在x0點連續。
如果定義在區間i上的函式在每一點x∈i都連續，則說f在i上連續，此時，它在直角座標系中的影象是一條沒有斷裂的連續曲線。
【函式增量】
設變數x從它的乙個初值x1變到終值x2，終值與初值的差x2-x1就叫做變數x的增量，記為：△x。即：
△x=x2-x1。增量△x可正可負。也就是說，改變量可以是正的，也可以是負的。
連續函式
如圖：正方形的邊長x產生乙個*x的改變量，面積y改變了多少：
邊長為x時，正方形的面積為y等於x的二次方，如果邊長為x+*x，則面積為y+*y等於x+*x的二次方，因此，面積的改變量為*y等於x+*x的二次方減x的二次方，或等於2x乘以*x加上*x的二次方。
【概念】
設函式f(x)在點x0的某個鄰域內有定義，如果有 lim(x->x0) f(x)=f(x0)，則稱函式在點x0處連續，且稱x0為函式的的連續點。 設函式在區間(a,b]內有定義，如果f(x)在x=b的左極限存在且等於f(b)，即： lim(x->b)- f(x)=f(b)，那麼就稱函式在點b左連續。
設函式在區間[a,b)內有定義，如果f(x)在x=a處右極限存在且等於f(a)，即： lim(x->a) +f(x)=f(a)，那麼就稱函式f(x)在點a右連續。乙個函式在開區間(a，b)內每點連續，則為在(a，b)連續，若又在a點右連續，b點左連續，則在閉區間[a，b]連續，如果在整個定義域內連續，則稱為連續函式。
乙個函式若在定義域內某一點左、右都連續，則稱函式在此點連續，否則在此點不連續。
【間斷點】
如果函式f(x)在點x0處有下列三種情形之一，則點x0為f(x)的間斷點：
1.在點x0處f(x)沒有定義，在x0為發散狀態【如圖一，tanx】；2.不存在；3.
在x0無定義，趨近與x0時連續波動【如圖三sin（1/x）】4.雖然f(x0)有定義，且存在，但不等於f(x0)。
如圖所示
【法則】
定理一 在某點連續的有限個函式經有限次和，
連續函式的運算法則
積，商(分母不為 0) 運算，結果仍是乙個在該點連續的函式。
定理二 連續單調遞增 （遞減）函式的反函式，也連續單調遞增 （遞減）。
定理三 連續函式的復合函式是連續的。
2樓：牛衣書生
如果函式y＝f（x）在x0處附近有定義，並且在x0的左右極限都等於f(x0)，那麼我們稱函式f(x)在點x0處連續。可導函式一定是連續函式。
3樓：分割**
連續函式在其定義域內可導,即在其定義域內沒有間斷點
4樓：
連續函式是指的函式的影象是連續不斷的 中間沒有隔離 像一條直線 一條拋物線 一條平滑的曲線等等
5樓：匿名使用者
連續就是左極限等於右極限
函式連續性的定義是什麼？如何判定乙個函式是連續的？
6樓：匿名使用者
1.函式連續性的定義:
設函式f(x)在點x0的某個鄰域內有定義,若 lim(x→x0)f(x)=f(x0), 則稱f(x)在點x0處連續。
若函式f(x)在區間i的每一點都連續,則稱f(x)在區間i上連續。
2.函式連續必須同時滿足三個條件：
（1）函式在x0 處有定義；
（2）x-> x0時，limf(x)存在；
（3）x-> x0時，limf(x)=f(x0)。
則初等函式在其定義域內是連續的。
擴充套件資料
間斷點的定義：
間斷點是指：在非連續函式y=f(x)中某點處xo處有中斷現象，那麼，xo就稱為函式的不連續點。
間斷點可以分為無窮間斷點和非無窮間斷點，在非無窮間斷點中，還分可去間斷點和跳躍間斷點。如果極限存在就是可去間斷點，不存在就是跳躍間斷點。
1.可去間斷點：函式在該點左極限、右極限存在且相等，但不等於該點函式值或函式在該點無定義。如函式y=（x^2-1)/(x-1)在點x=1處。
2.跳躍間斷點：函式在該點左極限、右極限存在，但不相等。如函式y=|x|/x在點x=0處。
3.無窮間斷點：函式在該點可以無定義，且左極限、右極限至少有乙個不存在，且函式在該點極限為∞。如函式y=tanx在點x=π/2處。
4.振盪間斷點：函式在該點可以無定義，當自變數趨於該點時，函式值在兩個常數間變動無限多次。如函式y=sin(1/x)在x=0處。
可去間斷點和跳躍間斷點稱為第一類間斷點，也叫有限型間斷點。其它間斷點稱為第二類間斷點。
7樓：匿名使用者
一群水貨！回答問題不是複製來的就是表達不清楚，表達不全的。我來教你！好好看，看懂你連續這塊你就再不會出問題了
連續的定義：乙個f（x）的極限，x從左側趨近x0等於f（x0），x從右側趨近x0也等於f（x0），那麼就說函式f（x）在x0這一點連續。簡單吧？
樓上說得是什麼嘛！放屁都比他們說得香！再看判定：
連續的判定：一般用兩種方法判定。
第一種、用定義，如果這一點左邊的極限等於右邊的極限且等於這一點的函式值，則函式在這一點連續。
第二種、求導，如果x0這一點可導，那麼這一點必連續，可導必連續記住哦~很重要的！可導必連續，但是連續未必可導，舉個例子，|x|在x=0這一點不可導，但是連續，你自己畫影象看看，影象是乙個英文本母v，因為左導數和右導數都存在但不相等，所以|x|不可導。可導的條件是什麼你記得不？
我還是說一下吧，一點的左導數和右導數都存在且相等，則這一點可導。
那咋辦勒？那不可導又該怎麼證連續呢？上述樓層這一點就沒有說，只告訴你可導就連續，沒告訴你不可導也連續的情況。
如果函式不可導，但是！！！看清楚了，劃重點了，他的左導數和右導數都存在，哪怕左導數不等於右導數，那麼在這一點它也是連續的。這你可能就不太理解了，給你說個情景你就懂了，從乙個點出發（連著這個點的哈）然後有一條不斷開的毛線連著向左邊除了垂直向上延伸以外，隨便怎麼向左延伸只要毛線不斷開就行，然後繼續從這一點出發，有一條不斷開的毛線連著向右邊除了垂直向上延伸以外隨便怎麼向右延伸，這兩條毛線左邊是連著的，右邊也是連著的，還都不是垂直於x軸的（左導數和右導數都存在），而且還都連著這乙個點，那這兩條毛線在這一點左邊連續，右邊也連續還都連著這個點，可不就是一條毛線嘛。
所以這一點連續！~
關於這一條可能很多人會在分段函式的跳躍間斷點處有疑問，比如f（x）在x>0時等於1，在x<0時等於-1，然後就有人會說在0這一點左邊連續右邊也連續但是是間斷點在0這一點不連續啊，你要知道這種情況確實是左連續而且有連續但是它要麼x>0時要麼x<0時不連著這一點啊，換句話說這種情況這一點的左導數等於正無窮也就是左導數不存在，右導數等於負無窮(f（x）它要向下去找-1嘛能看懂不？）也就是右導數不存在。已經和第二種連續判定法沒關係了。
8樓：莫小賢
在定義域內，函式是連續的，是在每個自變數的地方都有極限，並且等於函式值
9樓：匿名使用者
函式在點x處的極限等於該點的函式值，那麼函式在該點就是連續的。如果x是定義域內任意點，那函式就是連續的。
判定函式連續求導就可以，如果可導就肯定連續。
最好是那具體的題目理解一下。
10樓：royal未煊
所謂連續，有兩種定義方法：
1.設f（
x）在點xo的某鄰域內有定義，若
lim△y（△x→0）＝lim［f（xo+△x）－f（xo）］xo=0 （△x→0）
則稱函式f（x）在點xo連續，點xo稱為f（x）的連續點。
2.設函式在點xo的某一鄰域內有定義，且有limf（x）＝f（xo） （x→xo），則稱函式f（x）在點xo處連續。
11樓：➢竹椅聽風獨呢喃
我在北航學工科，我們學的各種定義（主要說大一上學的那些）主要是用ε-δ語言說明的，然後連續的話是說，對於任意的ε>0，都存在相應的δ，使得當lx-x0l<δ時，就有l fx-fx0 l＜ε，則fx在x0處連續。
通俗點講就是，當x變化的無限小時，fx也變的無限小，即δx→0，δfx→0，所以這就也說明了為什麼y=1/x在（0,1）上連續但不一致連續，因為連續是對於乙個確定的x0，那麼該點的變化率確定，而一致連續則不依賴於x0，所以可以無限趨近於0，從而變化率可以趨近於無窮（注意區分無窮跟極大的區別，10^10000000叫極大但不無窮大）。
12樓：匿名使用者
函式連續性的定義
定義1 設函式在點x0的領域內有定義,若:
(1)極限 存在
(2)極限值滿足:
稱函式f(x)在x0點連續.
根據這個定義來判斷函式的連續性
13樓：匿名使用者
lim(x→x0)f(x)=f(x0)則連續，否則不連續
函式的連續性是什麼意思
14樓：u愛浪的浪子
對於連續性，在自然界中有許多現象，如氣溫的變化，植物的生長等都是連續地變化著的。這種現象在函式關係上的反映，就是函式的連續性。簡單地說，如果乙個函式的影象你可以一筆畫出來，整個過程不用抬筆，那麼這個函式就是連續的。
15樓：我想該睡
直觀理解:函式影象連續。
直觀意義就是：
兩個點之間可以插入無數個點，一直插入到兩個點之間沒有空隙；
例如 y = x 取 x = 1，跟 x = 2 兩個值，y = 1，y = 2 是它們對應的值，在這兩點之間，x 可以取任何值。也就是說，我們沒有任何理由 x 不取某個值。在這樣的情況下，這兩個點之間可以填滿無數個點，把這些點連起來的圖形沒有斷斷續續的點，而是一條沒有斷點沒有縫隙的直線。
沒有斷點的線，無論是直線還是曲線就是連續的線。函式連續就是圖形沒有斷點，沒有縫隙，沒有漏洞。
精確定義：limf(x) = f(x0) x->x0時，則稱f在x0處連續。引入增量的概念後，連續的定義等價於 lim△y=0 △x->0時。
(即x的變化很小時，y的變化為0）或者用ε-δ方式敘述：若對任意ε>0，存在δ>0，使得當|x-x0|<δ時有：|f(x)-f(x0)|<ε，則稱f在x0處連續若f在區間i上任一點都滿足上述定義，則稱f在i上連續。
函式y=f（x）當自變數x的變化很小時，所引起的因變數y的變化也很小。例如，氣溫隨時間變化，只要時間變化很小，氣溫的變化也是很小的；又如，自由落體的位移隨時間變化，只要時間變化足夠短，位移的變化也是很小的。對於這種現象，我們說因變數關於自變數是連續變化的，連續函式在直角座標系中的影象是一條沒有斷裂的連續曲線。
由極限的性質可知，乙個函式在某點連續的充要條件是它在該點左右都連續。
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